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112 學測數Ａ - 多選題 第 11 題

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A=[ cos⁡(−90∘)−sin⁡(−90∘)  sin⁡(−90∘)  cos⁡(−90∘)]=[   cos⁡90∘sin⁡90∘ −sin⁡90∘cos⁡90∘ ]=[   01 −10 ]  B=[ cos⁡90∘−sin⁡90∘  sin⁡90∘   cos⁡90∘ ]=[ 0−1  10]  C=[ 01  10]      ,     D=[    0−1   −1  0 ]A=\begin{bmatrix} \ \cos \left( -90^{\circ }\right) & -\sin \left( -90^{\circ }\right)\ \\ \ \sin \left( -90^{\circ }\right) & \ \ \cos \left( -90^{\circ }\right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ \ \ \cos 90^{\circ } & \sin 90^{\circ }\ \\ -\sin 90 ^{\circ } & \cos 90^{\circ }\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ \ \ 0 & 1 \ \\ -1 & 0\ \end{bmatrix} \\ \ \\ \ \\ B=\begin{bmatrix} \ \cos 90^{\circ } & -\sin 90^{\circ }\ \\ \ \sin 90 ^{\circ } &\ \ \ \cos 90^{\circ }\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ 0 & -1\ \\ \ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \ \\ \ \\ C=\begin{bmatrix} \ 0 & 1\ \\ \ 1 & 0 \end{bmatrix} \ \ \ \ \ \ , \ \ \ \ \ D=\begin{bmatrix} \ \ \ \ 0 & -1\ \ \\ \ -1 & \ \ 0 \ \end{bmatrix}

( 1 )

[01 −10 ]⋅[ 1  0 ]=[ 0  −1 ]   ,   [ 01  10 ]⋅[ 1  0 ]=[ 0  1 ]   ,  這個選項是錯的\begin{bmatrix} 0 & 1\ \\ -1 & 0\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \ 1 \ \\ \ 0 \ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ 0 \ \\ \ -1 \ \end{bmatrix} \ \ \ , \ \ \ \begin{bmatrix} \ 0 & 1\ \\ \ 1 & 0\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \ 1 \ \\ \ 0 \ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ 0 \ \\ \ 1 \ \end{bmatrix}\ \ \ ,\ \ 這個選項是錯的

( 2 )

[   01 −10 ]=−[ 0−1  1 0]   ,   這個選項是對的\begin{bmatrix} \ \ \ 0 & 1 \ \\ -1 & 0 \ \end{bmatrix}=-\begin{bmatrix} \ 0 & -1 \ \\ \ 1 & \ 0 \end{bmatrix} \ \ \ , \ \ \ 這個選項是對的

( 3 )

D−1 = 10−1⋅[ 01  10 ]=[   0−1 −1 0]≠C   ,   這個選項是錯的D^{-1}\ =\ \dfrac{1}{0-1}\cdot \begin{bmatrix} \ 0 & 1 \ \\ \ 1 & 0 \ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ \ \ 0 & -1 \ \\ -1 & \ 0 \end{bmatrix} \neq C \ \ \ , \ \ \ 這個選項是錯的

( 4 )

[   01 −10 ][ 0−1  1  0]=[ 10  01 ]   ,   [  01   10 ][   0−1  −1 0]=[ −1   0     0−1 ]  AB≠CD  ,  這個選項是錯的\begin{bmatrix} \ \ \ 0 & 1 \ \\ -1 & 0 \ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ 0 & -1 \ \\ \ 1 & \ \ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ 1 & 0 \ \\ \ 0 & 1 \ \end{bmatrix} \ \ \ , \ \ \ \begin{bmatrix} \ \ 0 & 1 \ \\ \ \ 1 & 0 \ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ \ \ 0 & -1 \ \\ \ -1 & \ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ -1 & \ \ \ 0 \ \\ \ \ \ \ 0 & -1 \ \end{bmatrix} \\ \ \\ \ \\ AB \neq CD \ \ , \ \ 這個選項是錯的

( 5 )

[   01 −10 ][ 01  10 ]=[ 1  0 0−1 ]   ,   [  0−1   10 ][   0−1  −1 0]=[ 1   0  0−1 ]  AC=BD  ,  這個選項是對的\begin{bmatrix} \ \ \ 0 & 1 \ \\ -1 & 0 \ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ 0 & 1 \ \\ \ 1 & 0 \ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ 1 & \ \ 0 \\ \ 0 & -1 \ \end{bmatrix} \ \ \ , \ \ \ \begin{bmatrix} \ \ 0 & -1 \ \\ \ \ 1 & 0 \ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ \ \ 0 & -1 \ \\ \ -1 & \ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ 1 & \ \ \ 0 \ \\ \ 0 & -1 \ \end{bmatrix} \\ \ \\ \ \\ AC=BD \ \ , \ \ 這個選項是對的

答案選 ( 2 )、( 5 )

觀念說明：

   這一題考驗的是各種特殊矩陣有沒有記熟，例如旋轉矩陣、鏡射矩陣等

   算是基礎題，不過矩陣的運算比較容易出錯，解題的時候要小心！

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