112 學測數Ａ - 單選題 第 5 題

$\overrightharpoon{PQ}$ 和 $\overrightharpoon{PR}$ 為平面 $2x-3y+5z=\sqrt{7}$ 上之兩相異向量

其外積為此平面之法向量，即 $\overrightharpoon{PQ}$ X $\overrightharpoon{PR}$ $\bot$ 平面

( 2, -3, 5 ) 亦為此平面之法向量，故 $\overrightharpoon{PQ}$ X $\overrightharpoon{PR}$ // ( 2, -3, 5 )

可得 $\left( \begin{vmatrix} b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2} \end{vmatrix},\begin{vmatrix} c_{1} & a_{1} \\ c_{2} & a_{2} \end{vmatrix},\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}\right) = \left( 2k, -3k, 5k \right)$

接下來我們對每個選項做降階處理，來判斷誰的絕對值最大

( 1 )

$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}=-2k-3k+5k=0$

( 2 )

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}=2k+3k+5k=10k$

( 3 )

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}=2k-3k-5k=-6k$

( 4 )

$\begin{vmatrix} -1 & -1 & 1 \\ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}= -\begin{vmatrix} b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}=-2k+3k+5k=6k$

( 5 )

$\begin{vmatrix} -1 & -1 & -1 \\ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}= -\begin{vmatrix} b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix}=-2k+3k-5k=-4k$

$\left| 10k\right| >\left| -6k\right| =\left| 6k\right| >\left| -4k\right| >0$ ,

( 2 ) > ( 3 ) = ( 4 ) > ( 5 ) > ( 1 )，答案選 ( 2 )

觀念說明：

    這一題難度比較高一點！

    首先要對空間平面和空間向量非常熟悉，

    才能夠聯想到利用外積和法向量來解題。

    另外三階行列式降二階也是本題考點之一，降階的邏輯並不難，

    但是正負號的判斷容易寫錯，列式時必須小心。

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