112 學測數Ａ - 多選題第 7 題

Last updated on Sep 6, 2023

這題我會用到高斯符號來列式，所以我們先來介紹一下高斯符號的意義

所謂的 " 高斯符號 [ ] "，就是取小於或等於該數的最大整數的意思，舉例來說：

$\left[ 3.5\right] =3$ , $\left[ \dfrac{13}{12}\right] = 1$ , $\left[ 5\right] =5$ , $\left[ \dfrac{7}{3}\right] = 2$ , ... 以此類推。

我們設甲、乙的起薪皆為 K，第 x 個月的薪水為 y

那麼甲的薪水函數可以這樣表示： $f_{甲}\left( x\right) =y=k+\left[ \dfrac{x-1}{3}\right] \times 200$

乙的薪水函數則是： $f_{乙}\left( x\right) =y=k+\left[ \dfrac{x-1}{12}\right] \times 1000$

接著我們來判斷各個選項的敘述是否正確：

( 1 )

$f_{甲}\left( 9\right) -f_{甲}\left( 1\right) =\left( k+\left[ \dfrac{9-1}{3}\right] \times 200\right) -\left( k+\left[ \dfrac{1-1}{3}\right] \times200\right) = 400$

第 9 個月的月薪比第 1 個月的月薪增加 400 元，不是 600 元，這個選項是錯的。

( 2 )

$f_{甲}\left( 13\right) =k+\left[ \dfrac{13-1}{3}\right] \times 200=k+800$

$f_{乙}\left( 13\right) =k+\left[ \dfrac{13-1}{12}\right] \times 1000=k+1000$

$k+800 < k+1000$ ，第 13 個月甲的月薪比乙的月薪低，這個選項是錯的。

( 3 )

$f_{甲}\left( 19\right) =k+\left[ \dfrac{19-1}{3}\right] \times 200=k+1200$

$f_{乙}\left( 19\right) =k+\left[ \dfrac{19-1}{12}\right] \times 1000=k+1000$

$k+1200 >k+1000$ ，第 19 個月甲的月薪比乙的月薪高，這個選項是對的。

( 4 )

甲： $3k+3\left( k+200\right) +3\left( k+400\right) +\ldots +3\left( k+1000\right) = 18k+9000$

乙： $12k + 6(k+1000 ) = 18k+6000$

$18k+9000>18k+6000$ ，甲總共領到的薪水比乙多，這個選項是錯的。

( 5 )

第 3 年的 12 個月 = 第 25 個月到第 36 個月

甲：

$x=25,26,27$ , $y =k+1600$

$x=28,29,30$ , $y=k+1800$

$x=31,32,33$ , $y=k+2000$

$x=34,35,36$ , $y=k+2200$

乙：

$x=25, 26, ... , 36$ , $y=k+2000$

其中甲在最後三個月 ( $x=34,35,36$ ) 的月薪比乙的月薪高，這個選項是對的。

答案選 ( 3 )、( 5 )

觀念說明：

這題必須要列出甲、乙兩人薪水的函數關係式來解題，用列舉法的話會非常麻煩

依照題意列式是非常關鍵的能力，大考很喜歡出這類型的題目，平常要多練習！

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