112 學測數Ａ - 多選題 第 8 題

( 1 )

n 次至少中獎一次的機率 = 1 - n 次都沒中獎的機率

$P_{n}=1-\left( 0.9\right) ^{n}$

$P_{n+1}=1-\left( 0.9\right) ^{n+1}$

$\left( 0.9\right) ^{n+1} <\left( 0.9\right) ^{n}\Rightarrow 1-\left( 0.9\right) ^{n+1} >1-\left( 0.9\right) ^{n}\Rightarrow P_{n+1} > P_{n}$ ， 這個選項是對的

( 2 )

$P_{3}=1-\left( 0.9\right) ^{3}=1-0.729=0.271\neq 0.3$ ， 這個選項是錯的

( 3 )

$P_{1}=1-\left( 0.9\right) ^{1}=0.1$

$P_{2}=1-\left( 0.9\right) ^{2}=0.19$

$P_{3}=1-\left( 0.9\right) ^{3}=0.271$ ,

$P_{2}-P_{1}=0.09 \neq P_{3}-P_{2}=0.081$

$<P_{n} >$ 非等差數列，這個選項是錯的

( 4 )

第一次未中獎且第二次中獎的機率：$0.9 \times 0.1 = 0.09$

$P_{2}-P_{1}=0.09$，兩者相同，這個選項是對的

( 5 )

至少中獎 2 次的機率 = 1 - 都沒中獎的機率 - 只中獎 1 次的機率

$1-\left( 0.9\right) ^{n}-\left( 0.1\right) \times \left( 0.9\right) ^{n-1}\times n\neq 2P_{n}$ ， 這個選項是錯的

答案選 ( 1 )、( 4 )

觀念說明：

   這一題考的是機率中獨立事件的概念，

   若 A 與 B 互為獨立事件，則 \( P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \times P\left( B\right) \)

   另外要善用反面算法來列式，

   至少中獎一次的機率從正面討論各種情況太複雜了，列式會非常困難

   用扣的來列式會好寫很多，要記得！

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