112 學測數Ａ - 多選題 第 9 題

首先我們來分析 $\langle a_{n}\rangle$ 這個等比數列：

首項 $a_{1}=3^{1}$ , 公比 $r=3\sqrt{3}=3^{1}\cdot 3^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}$

$a_{1}=3^{\frac{2}{2}}$ , $a_{2}=3^{\frac{5}{2}}$ , $a_{3}=3^{\frac{8}{2}}$ , $a_{4}=3^{\frac{11}{2}}$ , $a_{5}=3^{\frac{14}{2}}$ , $\ldots$

接著我們再來對不等式做化簡：

$\quad\log _{3}a_{1}-\log_{3}a_{2}+\log _{3}a_{3}-\log _{3}a_{4}+\ldots +\left( -1\right) ^{n+1}\log _{3}a_{n}$

$=\log _{3}3^{\frac{2}{2}}-\log _{3}3^{\frac{5}{2}}+\log_{3}3^{\frac{8}{2}}-\log_{3}3^{\frac{11}{2}}+\ldots +\left( -1\right) ^{n+1}\log_{3}3^{\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}}$

$= \dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2}+\dfrac{8}{2}-\dfrac{11}{2}+\ldots +\left( -1\right) ^{n+1}\cdot \left( \dfrac{3}{2}n-\dfrac{1}{2}\right)$

$= \dfrac{2-5+8-11+\ldots +\left( -1\right) ^{n+1}\cdot \left( 3n-1\right) }{2} > 18$

$\quad 2-5+8-11+14-17+\ldots +\left( -1\right) ^{n+1}\cdot\left( 3n-1\right) >36$

$=2+(-5+8)+(-11+14)+\ldots > 36$

$= 2+3+3+\ldots > 36$

至少要有 12 個 3，其和才會大於 36

12 個 3 = 24 項 ( 每兩項一組和為 3 )，再加上第一項，總共至少要有 25 項

且項數必須為奇數，和才會是正的

大於等於 25 的奇數，答案選 ( 3 )、( 5 )

觀念說明：

   這一題不難，就是對數的化簡比較複雜一點，要小心！

   另外對數律和等比數列的公式要熟悉，這樣解題時才不會卡住。

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